Question

已知對于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：首先分析題目已知不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，可變形為|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，又因?yàn)楦鶕?jù)絕對值不等式可得到右邊大于等于1．即可得到|x-1|-|2x+3|≤1，分類討論去絕對值號即可求得x的取值范圍．

解答：解：已知對于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立
：即|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立
因?yàn)椋?span id="b77tpbn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①當(dāng)x≤-

3

2

時(shí)，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②當(dāng)-

3

2

＜x＜1時(shí)，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③當(dāng)x≥1時(shí)，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
綜上x的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
故答案為（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

點(diǎn)評：此題主要考查絕對值不等式的應(yīng)用問題，有一定的靈活性，題中應(yīng)用到分類討論的思想，屬于中檔題目．