Question

11．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$，若平面向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$|．則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角（銳角）為$\frac{π}{6}$；若非零平面向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是（$2\sqrt{3}$，4]．

Answer 1

分析 可作向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$∠AOB=\frac{π}{3}$，并連接AB，從而根據(jù)條件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}|$便可得出△AOB為等邊三角形，然后再作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接AC，BC，從而可以得到AC=BC，這樣OC便垂直平分AB，從而便可得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角；依題意可知，點C在△AOB的外接圓上，而可以求出△AOB的外接圓半徑，而OC最長為外接圓的直徑，且OC$＞2\sqrt{3}$，這樣便可得出$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$∠AOB=\frac{π}{3}$，連接AB，則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，則：

△AOB為等邊三角形；
∴OA=OB；
作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接AC，BC，則$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow$；
∵$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow|$；
∴AC=BC；
∴OC將線段AB垂直平分；
∴$∠AOC=\frac{π}{6}$，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$；
若非零平面向量$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，即$∠ACB=\frac{2π}{3}$，則：C在△AOB的外接圓上，且在弦AB的上方；
△AOB的外接圓半徑r=$\frac{2}{3}×（2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}）=2$；
∴OC最長時為外接圓的直徑；
∴$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍為$（2\sqrt{3}，4]$．
故答案為：$\frac{π}{6}，（2\sqrt{3}，4]$．

點評 考查向量的幾何意義，向量減法的幾何意義，以及等邊三角形的判斷，等邊三角形的中線也是角平分線，對角互補的四邊形共圓，以及弦的垂直平分線過圓心，會求等邊三角形的外接圓半徑，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．