Question

某人仿照福利彩票快3設計了一款游戲，有一個不透明的紙箱里裝有標號分別為1，2，3，4，5，6形狀大小相同的小球，游戲參加者需要三次有放回的從箱子里取出一個小球，分別記下小球上的數(shù)字，若三次都是同一個數(shù)字，獲一等獎；若三次小球上的數(shù)字都是連號（不考慮順序），獲二等獎；其它情況無獎．參加游戲者需要購買20元（包括卡片成本費為4元）的精美卡片一張，憑次卡片參加一次摸球活動
（1）某人購買兩張卡片參加兩次游戲，求至少有一次獲獎的概率；
（2）如果獎勵改為返還一定價值的禮品，一等獎禮品價值是二等獎的2倍，統(tǒng)計表明：每天的銷量y（張）與一等獎的獎禮品價值x（元）的關(guān)系式為y=

x

4

+24．問x設定為多少最理想？并說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）三次有放回的從箱子里取出一個小球，基本事件總數(shù)為6³，三次都是同一個數(shù)字，包含的基本事件個數(shù)為6，三次小球上的數(shù)字都是連號（不考慮順序），是從（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）四種情況中取一種進行全排列，包含的基本事件個數(shù)為4

A

3 3

．由此先求出顧客一次購買一件飲品獲得獎勵的概率，從而利用對立事件概率計算公式能求出某人購買兩張卡片參加兩次游戲，至少有一次獲獎的概率．
（Ⅱ）設一顧客每購買一件飲品所得獎金額為X元，則X的可能取值為x，

x

2

，0，分別求出相應的概率，從而得到E（x）=

x

12

，進而求出該商場每天銷售這種飲品所得平均利潤，由此二次函數(shù)性質(zhì)能求出x設定為多少最理想．

解答： （Ⅰ）記事件：“一顧客購買一件飲品獲得i等獎”為A_i，i=1，2，
則P（A₁）=

6

63

=

1

36

，P（A₂）=

4 A 3 3

63

=

4

36

，
則一顧客一次購買一件飲品獲得獎勵的概率為：
P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=

5

36

．…（4分）
故一顧客一次購買兩件飲品，
至少有一件獲得獎勵的概率p=1-（1-

5

36

）²=

335

1296

．…（6分）
（Ⅱ）設一顧客每購買一件飲品所得獎金額為X元，
則X的可能取值為x，

x

2

，0．
由（Ⅰ）得P（X=x）=

1

36

，P（X=

x

2

）=

4

36

，P（X=0）=1-

1

36

-

4

36

=

31

36

，
∴E（x）=

x

36

+

2x

36

=

x

12

．…（9分）
該商場每天銷售這種飲品所得平均利潤
Y=y[（36-20）-E（x）]=（

x

4

+24）（16-

x

12

）=-

1

48

（x-48）²+432．
當x=48時，Y最大．故x設定為48（元）為最佳．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查滿足條件的獎品價值的求法，涉及到古典概率、互斥事件概率計算公式、對立事件概率計算公式、離散型隨機變量的概率分布列、數(shù)學期望、二次函數(shù)等知識點的合理運用．