Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a}{e^x}+x+1$
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線平行于y=2x+3，求a的值．
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=1-$\frac{a}{e}$=2，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{a}{e^x}+x+1$，得$f'（x）=1-\frac{a}{e^x}$，
由函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線平行于y=2x+3，
得f'（1）=2，解得 a=-e；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
?當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上為增函數(shù)，f（x）無(wú)極值，
?當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得 e^x=a，x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）在x=lna取得極小值，極小值為f（lna）=lna+2，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．