Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為2ρ=sinθ．
（1）寫出曲線C₁的參數(shù)方程，并求出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P，Q分別是曲線C₁，C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓性質(zhì)能示出曲線C₁的參數(shù)方程；由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），曲線C₂的圓心為C₂，由C₂（0，$\frac{1}{4}$），由此利用兩點(diǎn)間距離公式能求出|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α為參數(shù)，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為2ρ=sinθ，
由2ρ=sinθ，得2ρ²=ρsinθ，∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}y$，
∴C₂的直角坐標(biāo)方程式x²+（y-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{16}$．
（2）設(shè)P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），曲線C₂的圓心為C₂，
由（1）知C₂（0，$\frac{1}{4}$），
∴|PF₂|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosα）^{2}+（sinα-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{2co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-\frac{1}{2}sinα+\frac{1}{16}}$
=$\sqrt{-si{n}^{2}α-\frac{1}{2}sinα+2+\frac{1}{16}}$=$\sqrt{-（sinα+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{17}{8}}$，
當(dāng)sinα=1時(shí)，|PC₂|取最小值$\frac{3}{4}$，此時(shí)|PQ|_min=$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)sinα=-$\frac{1}{4}$時(shí)，|PC₂|取得最大值$\frac{\sqrt{34}}{4}$，
此時(shí)|PQ|_max=$\frac{\sqrt{34}}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{34}+1}{4}$，
綜上知，|PQ|的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{34}+1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．