Question

17．在平面內(nèi)，若有|$\overrightarrow{a}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，|$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由條件可以求得$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$，從而可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，并連接AB，取AB的中點D，連接OD，則有$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$，根據(jù)條件可以得到$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}）$，可作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，并連接AC，DC，從而可以得到AC⊥DC，即點C在以AD為直徑的圓上，從而得出當(dāng)OC過圓心E時OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大．而由余弦定理可以求出$AB=\sqrt{3}$，從而得出$∠OAB=\frac{π}{2}$，且$AE=CE=\frac{\sqrt{3}}{4}$，這樣便可求出OE的值，進(jìn)一步即可得出OC的值，即得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$，如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$∠AOB=\frac{π}{3}$，連接AB，取AB的中點D，連接OD，則$\overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$；
由$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（2\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=0$得，$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}）=0$；
∴$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）⊥（\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}）$；
作$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接AC，CD，則$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow}{2}$；
∴AC⊥DC；
∴C點在以AD為直徑的圓上；
∴當(dāng)OC經(jīng)過圓心E時，OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大；
在△AOB中，$OA=1，OB=2，∠AOB=\frac{π}{3}$；
∴由余弦定理得，$A{B}^{2}=1+4-4×\frac{1}{2}=3$；
∴$AB=\sqrt{3}$；
∴$∠OAB=\frac{π}{2}$；
$AE=CE=\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴$OE=\sqrt{1+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$；
∴$OC=OE+CE=\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$；
∴$|\overrightarrow{c}|$的最大值為$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{19}+\sqrt{3}}{4}$．

點評 考查向量數(shù)量積的計算公式，已知三角函數(shù)求角，以及向量夾角的范圍，向量的數(shù)乘運算，向量垂直的充要條件，圓的直徑所對的圓周角為直角，余弦定理，直角三角形邊的關(guān)系．