Question

6．在二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{\root{4}{x}}}$）ⁿ的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到n的值，由通項(xiàng)公式可得展開式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求出9項(xiàng)的全排列數(shù)，由插空排列求出有理項(xiàng)都互不相鄰的排列數(shù)，最后由古典概型概率計(jì)算公式得答案．

解答 解：∵在二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{\root{4}{x}}}$）ⁿ的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式共有9項(xiàng)，則n=8．
其通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，故當(dāng)r=0，4，8時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)．
展開式的9項(xiàng)全排列共有${A}_{9}^{9}$種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔即可，有${A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}$種．
∴有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$，
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查簡單的排列組合知識(shí)，訓(xùn)練了利用古典概型概率計(jì)算公式求概率，是中檔題．