Question

4．已知$f（x）=\frac{lnx}{1+x}-lnx，f（x）$在x=x₀處取最大值，以下結(jié)論：
①f（x₀）＜x₀ ②f（x₀）=x₀ ③f（x₀）＞x₀ ④$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$   ⑤$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$
其中正確的序號為②④．

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性和極值，利用極值最值的關(guān)系確定f（x₀）的值，進行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{-lnx-x-1}{{（x+1）}^{2}}$，
設(shè)h（x）=-lnx-x-1，
則h′（x）=-$\frac{1}{x}$-1=$\frac{-1-x}{x}$，則當(dāng)x＞0時，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵h（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{3}{2}$＜lne-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$＜0，當(dāng)x→0時，h（x）＞0，
∴在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)函數(shù)h（x）有唯一的零點x₀，即h（x₀）=-lnx₀-x₀-1=0，
即lnx₀=-1-x₀，
當(dāng)0＜x＜x₀，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞x₀，f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在x=x₀處取得最大值，
即f（x₀）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx₀=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x₀）=x₀，
故答案為：②④．

點評 本題主要考查命題的真假判斷涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強，運算量較大．