Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-12x+c的圖象經(jīng)過原點．
（1）求c的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，求出c的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵f（0）=0∴c=0…（2），
∴f（x）=2x³-12x…（4分）
∴$f'（x）=6{x^2}-12=6（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）$，…（5分）
列表如下：

x	$（-∞，-\sqrt{2}）$	$-\sqrt{2}$	$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	$（\sqrt{2}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$（-∞，-\sqrt{2}）$和$（\sqrt{2}，+∞）$…（7分）
遞減區(qū)間是$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$…（8分）
（2）∵f（-1）=10，$f（\sqrt{2}）=-8\sqrt{2}$，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是$f（\sqrt{2}）=-8\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．