Question

6．某地區(qū)的電價(jià)為0.8元/（kW•h），年用電量為1億kW•h，今年電力部門計(jì)劃下調(diào)電價(jià)以提高用電量、增加收益．下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和原電價(jià)的差的平方成正比，比例系數(shù)為50．該地區(qū)電力的成本是0.5元/（kW•h）．
（1）寫出電力部門收益y與實(shí)際電價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系時(shí)；
（2）隨著x的變化，y的變化有和規(guī)律？
（3）電力部門將電價(jià)定為多少，能獲得最大收益？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可寫出下調(diào)電價(jià)后新增的用電量，從而可得電力部門收益y與實(shí)際電價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中建立的函數(shù)，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，分析單調(diào)性即可得解．
（3）求出x=0.64時(shí)的函數(shù)值，進(jìn)行比較，最大的就是最大值．

解答 解：（1）設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元/（kW•h），
依題意知用電量增至1+50（x-0.8）²，
電力部門的收益為：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5），0.5＜x＜0.8．
（2）由（1）知：y=[1+50（x-0.8）²]（x-0.5）=50x³-105x²+73x-16.5，0.5＜x＜0.8，
∴y′=150x²-210x+73．
令y′=0，解得x=0.76，或x=0.64．
可得：當(dāng)0.5＜x＜0.64時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)0.64＜x＜0.76時(shí)函數(shù)遞減；
當(dāng)0.76＜x＜0.8時(shí)函數(shù)遞增；
x=0.64，x=0.76為函數(shù)的極值點(diǎn)；
（3）由（2）知電力部門將電價(jià)定位0.64元/（kW．h）時(shí)，
可以獲得最大受益，最大受益為0.3192億元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)提取和分析能力，考查導(dǎo)數(shù)再求函數(shù)最大值中的應(yīng)用，屬于中檔題．