Question

7．已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且f（0）=1，當(dāng)x≠1時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)滿f′（x）滿$\frac{f′（x）-f（x）}{x-1}$＞0，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在（1，+∞）上是增函數(shù)
• B． x=1是函數(shù)y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的極小值點(diǎn)
• C． 函數(shù)y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$至多有兩個(gè)零點(diǎn)
• D． x≤0時(shí)f（x）≤e^x恒成立

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，結(jié)合題意求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
x＞1時(shí)，f′（x）-f（x）＞0，
故y=g（x）在（1，+∞）遞增，A正確；
x＜1時(shí)，f′（x）-f（x）＜0，
故y=g（x）在（-∞，1）遞減，
故x=1是函數(shù)y=g（x）的極小值點(diǎn)，故B正確；
若g（1）＜0，則y=g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
若g（1）=0，則函數(shù)y=g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
若g（1）＞0，則函數(shù)y=g（x）沒有零點(diǎn)，故C正確；
由y=g（x）在（-∞，1）遞減，則y=g（x）在（-∞，0）遞減，
由g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，得x≤0時(shí)，g（x）≥g（0），
故$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$≥1，故f（x）≥e^x，故D錯(cuò)誤；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．