Question

已知矩陣A=

a -1 b 0

的一個特征值λ=2，其對應的一個特征向量

a

=

1 1

．
（Ⅰ）試求矩陣A^-1；
（Ⅱ）求曲線2x-y+1=0經(jīng)過A^-1所對應的變換作用下得到的曲線方程．

Answer 1

考點：特征值、特征向量的應用

專題：矩陣和變換

分析：（Ⅰ）直接代入計算；
（Ⅱ）先寫出變換，整理即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵A=

a -1 b 0

的與特征值λ=2對應的一個特征向量為量

a

=

1 1

，
∴

a -1 b 0

1 1

=2

1 1

，
解得

a=3 b=2

，所以A=

3 -1 2 0

．
∵detA=

.

3 -1 2 0

.

=2，
∴A-1=

0 1 2 -1 3 2

．
（Ⅱ）矩陣A^-1對應的變換為

x′= 1 2 x y′=-x+ 3 2 y

，
整理，得

y=2x′ x=3x′-y′

  …（*）
將（*）代入2x-y+1=0，得2（3x′-y′）-2x′+1=0，
化簡，得4x′-2y′+1=0．
故所求的曲線方程為：4x-2y+1=0．

點評：本題考查矩陣的計算及變換．