Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），則使得a_n≤a_n+1恒成立的a的最大值為$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），可得a₁=S₁=1+4030a；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1+2a[|n-2016|-|n-2017|]．對(duì)n分類討論，利用a_n≤a_n+1恒成立即可得出．

解答 解：∵S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），
∴a₁=S₁=1+4030a；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2a|n-2016|-[（n-1）²+2a|n-2017|]=2n-1+2a[|n-2016|-|n-2017|]．
由a₁≤a₂，可得：1+4030a≤3-2a，解得a≤$\frac{1}{2016}$；
當(dāng)2≤n≤2015時(shí)，a_n=2n-1-2a，a_n+1=2n+1-2a，此時(shí)a_n≤a_n+1對(duì)于a＞0恒成立；
n=2016時(shí)，a₂₀₁₆=2×2016-1-2a，a₂₀₁₇=2×2017-1+2a，此時(shí)a_n≤a_n+1對(duì)于a＞0恒成立；
當(dāng)n≥2017時(shí)，a_n=2n-1+2a，a_n+1=2n+1+2a，此時(shí)a_n≤a_n+1對(duì)于a＞0恒成立．
綜上可得：a的最大值為$\frac{1}{2016}$．
故答案為：$\frac{1}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、分類討論方法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．