Question

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$（n是正整數(shù)）

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法分兩步證明即可，①當(dāng)n=1時，易證不等式成立；②假設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，即即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k，通過放縮法，去證明當(dāng)n=k+1時，不等式也成立即可．

解答 證明：①當(dāng)n=1時，1+$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+1，不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k，
則n=k+1時，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$
＞1+$\frac{k}{2}$+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$，
＞1+$\frac{k}{2}$+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
=1+$\frac{k+1}{2}$
又1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$＜$\frac{1}{2}$+k+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$，
＜$\frac{1}{2}$+k+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{1}{2}$+（k+1），
即n=k+1時也成立，
綜合①②可知，對任意的n∈N^*，1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查放縮法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與推理論證的能力，屬于難題．