Question

2．函數(shù)f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)基本關系式即可得出．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=（sin²x+cos²x）$（\frac{2}{si{n}^{2}x}+\frac{1}{co{s}^{2}x}）$=3+$\frac{2co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}+\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$≥3+2$\sqrt{2}$，當且僅當$tanx=±\sqrt{2}$時取等號．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．