Question

14．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足對任意t∈R都有f（2+t）+f（t）=0，且x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|在其定義域上有5個零點，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． 7或$\frac{1}{7}$
• B． 5或$\frac{1}{5}$
• C． 3或$\frac{1}{3}$
• D． e或$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 將t換為t+2，可得f（t+4）=f（t），可得f（x）為最小正周期為4的函數(shù)；再由奇函數(shù)的定義可得f（t+2）=f（-t），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求得[0，1]時f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象，由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log_a|x|的圖象有5個交點，討論a＞1，0＜a＜1時，函數(shù)的圖象的交點情況，即可得到a的取值．

解答 解：任意t∈R都有f（2+t）+f（t）=0，
即為f（t+2）=-f（t），
t換為t+2，可得f（t+4）=-f（t+2）=f（t），
可得f（x）為最小正周期為4的函數(shù)；
又f（-t）=-f（t），即有f（t+2）=f（-t），
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
由x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{e-ex}{{e}^{x}}$，可得（0，1）為f（x）的增區(qū)間，
由f（x）的對稱性和周期性，畫出y=f（x）的圖象，
由函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|在其定義域上有5個零點，
即為函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log_a|x|的圖象有5個交點，
當(dāng)a＞1時，如圖可得，x＞0時，x=5時，f（5）=f（1）=1，
由log_a5=1，解得a=5，且f（x）的值域為[-1，1]，
顯然當(dāng)x＞5時，y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log₅x的圖象沒有交點，
即x＞0時，y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log₅x的圖象有2個交點；
x＜0時，y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log₅|x|的圖象有3個交點，
同理可得，a=$\frac{1}{5}$時，x＞0時，y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log_a|x|的圖象有3個交點，
x＜0時，y=f（x）的圖象和函數(shù)y=log_a|x|的圖象有2個交點．
綜上可得，當(dāng)a=5或$\frac{1}{5}$時，函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|在其定義域上有5個零點．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想方法，以及數(shù)形結(jié)合的方法，考查觀察能力和判斷能力，正確畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于難題．