Question

6．求函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 換元法，設(shè)t=sinx+cosx，由三角函數(shù)知識(shí)可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x=mt+t²-1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：設(shè)t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x=mt+t²-1=（t-$\frac{m}{2}$）²-$\frac{1}{4}{m}^{2}$-1，
當(dāng)$\frac{m}{2}$≤0時(shí)，即m≤0時(shí)，此時(shí)f（x）_max=f（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m，
當(dāng)$\frac{m}{2}$＞0時(shí)，即m＞0時(shí)，此時(shí)f（x）_max=f（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m，
故f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{2}m，m≤0}\\{1-\sqrt{2}m，n＞0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的值域，涉及換元法和三角函數(shù)的值域以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．