Question

15．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，斜率為-$\frac{1}{2}$的直線l于橢圓C₁交于E，F(xiàn)兩點，若點M（1，1）滿足$\overrightarrow{EM}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準方程
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，若點A在橢圓C₁上，點B在直線y=2上，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減，運用中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程即可得到a，b，進而得到橢圓方程；
（2）可設(shè)A（m，n），B（t，2），由以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，由向量的數(shù)量積為0，將A的坐標(biāo)代入橢圓方程，運用點到直線的距離公式，化簡整理，即可得到所求定值．

解答 解：（1）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
代入橢圓的方程可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
由點M（1，1）滿足$\overrightarrow{EM}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{0}$，可得M為EF的中點，
即有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即有a²=2b²，
由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，設(shè)左、右焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得（1+c，1）•（1-c，1）=0，
即為1-c²+1=0，解得c=$\sqrt{2}$，
由a²-b²=c²=2，可得a=2，b=$\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）證明：由題意可設(shè)A（m，n），B（t，2），
由以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
即有mt+2n=0，即t=-$\frac{2n}{m}$，
由A在橢圓上，可得m²+2n²=4，即m²+n²=4-n²，
直線AB的方程為y-2=$\frac{n-2}{m-t}$（x-t），
即為（n-2）x-（m-t）y+2m-nt=0，
可得O到直線AB的距離為d=$\frac{|2m-nt|}{\sqrt{（n-2）^{2}+（m-t）^{2}}}$
=$\frac{2|\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{m}|}{\sqrt{{n}^{2}+{m}^{2}+4+{t}^{2}}}$=$\frac{2|4-{n}^{2}|}{\sqrt{8{m}^{2}-{m}^{2}{n}^{2}+4{n}^{2}}}$=$\frac{2|4-{n}^{2}|}{\sqrt{32-16{n}^{2}-{n}^{2}（4-2{n}^{2}）+4{n}^{2}}}$
=$\frac{2|4-{n}^{2}|}{\sqrt{2（{n}^{2}-4）^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
即O到直線AB的距離為定值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點差法和中點坐標(biāo)公式、直線的斜率公式，考查點到直線的距離公式，以及點滿足橢圓方程，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．