Question

10．若兩函數(shù)y=x+a與y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的圖象有兩個交點A、B、O是坐標原點，當△OAB是直角三角形時，則滿足條件的所有實數(shù)a的值的乘積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 把已知曲線方程變形，然后畫出圖形，由圖形可知，△OAB是直角三角形，包括∠AOB與∠OAB為直角兩種情況，然后分類求出a的值，作積得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$，得2x²+y²=1（y≥0）
作出兩函數(shù)y=x+a與y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的圖象如圖，
當OA⊥AB時，OA所在直線方程為y=-x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
把A的坐標代入y=x+a，得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2ax+a²-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2a}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-1}{3}$，
當OA⊥OB時，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•（-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）=-1，即y₁y₂=-x₁x₂，
∴（x₁+a）（x₂+a）=-x₁x₂，
則a（x₁+x₂）+2x₁x₂+a²=0，
∴-$\frac{2{a}^{2}}{3}$+$\frac{2{a}^{2}-2}{3}$+a²=0，解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴滿足條件的所有實數(shù)a的值的乘積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查曲線與方程，考查了數(shù)形結合的解題思想方法與數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．