Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n∈N^*，n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=6，求數(shù)列{|lga_n|}的前999項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n∈N^*，n≥2），對$\frac{1}{{a}_{n}-3}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-3}$變形、化簡即得結(jié)論；
（2）提供（1）及a₁=6可知a_n=$\frac{3（n+1）}{n}$（n∈N^*），進(jìn)而可知lga_n=lg（n+1）-lgn+lg3，利用并項(xiàng)相消法計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n∈N^*，n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}-3}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{{a}_{n-1}}{3{a}_{n-1}-9}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}-9}$=$\frac{1}{3}$（n∈N^*，n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{1}{{a}_{1}-3}$+$\frac{1}{3}$（n-1），
又∵a₁=6，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{n}{3}$，即a_n=3+$\frac{3}{n}$=$\frac{3（n+1）}{n}$（n∈N^*），
∴l(xiāng)ga_n=lg（n+1）-lgn+lg3，
于是所求值為999lg3+（lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999）
=999lg3+lg1000
=3+999lg3．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查并項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．