Question

【題目】數(shù)列{an}中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．
（1）求證：{an+1﹣an}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令cn=an+1﹣an，

則cn+1﹣cn=（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=an+2﹣2an+1+an=1（常數(shù)），

c1=a2﹣a1，=2，

故{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

（2）解：由（1）知cn=n+1，即an+1﹣an=n+1，

于是an=（an﹣an﹣1）﹣（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=

=n+（n﹣1）+…+2+1= ，

故 = =2（ ﹣ ）．

∴Sn=2（1﹣ ）+2（ ﹣ ）+2（ ﹣）+…+2（ ﹣ ）

=2（1﹣ ）

=

【解析】（1）令cn=an+1﹣an ， 通過(guò)cn+1﹣cn=1，說(shuō)明{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知cn=n+1，求出an ， 化簡(jiǎn) = =2（ ﹣ ）．利用裂項(xiàng)求和求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．