Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna﹣b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當a＞1時，若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，求實數(shù)a的取值范圍．（參考公式：（ax）′=axlna）

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna…

當a＞1時，lna＞0，當x∈（0，+∞）時，2x＞0，ax＞1，∴ax﹣1＞0，

所以f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當0＜a＜1時，lna＜0，當x∈（0，+∞）時，2x＞0，ax＜1，∴ax﹣1＜0，

所以f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

綜上，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：f（x）=ax+x2﹣xlna﹣b，因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以當x∈[﹣1，1]時，|f（x）max﹣f（x）min|=f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1

f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，

①當x＞0時，由a＞1，可知ax﹣1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；

②當x＜0時，由a＞1，可知ax﹣1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；

③當x=0時，f'（x）=0，∴f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，

∴當x∈[﹣1，1]時，f（x）min=f（0）=1﹣b，f（x）max=max{f（﹣1），f（1）}，

而 ，

設(shè) ，因為 （當t=1時取等號），

∴ 在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，

∴當t＞1時，g（t）＞0，∴當a＞1時， ，

∴f（1）＞f（﹣1），

∴f（1）﹣f（0）≥e﹣1，∴a﹣lna≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣lne，

設(shè)h（a）=a﹣lna（a＞1），則 ，

∴函數(shù)h（a）=a﹣lna（a＞1）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴a≥e，

既a的取值范圍是[e，+∞）

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），通過討論0＜a＜1，a＞1以及x＞0可判斷導(dǎo)數(shù)符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，等價于當x∈[﹣1，1]時，|f（x）max﹣f（x）min|=f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，利用導(dǎo)數(shù)易求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最小值f（0），而f（x）max=max{f（﹣1），f（1）}，作差后構(gòu)造函數(shù)可得f（x）max=f（1），從而有f（1）﹣f（0）≥e﹣1，再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可求得a的范圍；
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．