Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x），x∈（0，1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0，1）．求證：alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 ．

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng) 時(shí)，f′（x）＞0．

所以， ．

（2）證明：由a+b+c=1，a，b，c∈（0，1），得 ， ．

由（1），當(dāng)x∈（0，1），xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣ln2，

所以， ， ，

blnb+clnc≥（a﹣1）ln2+（b+c）ln（1﹣a）=（a﹣1）ln2+（1﹣a）ln（1﹣a）．（*）

因?yàn)閍∈（0，1），由（1），alna+（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣ln2，

所以，（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣alna﹣ln2．（**）

由（*） （**），blnb+clnc≥（a﹣1）ln2﹣alna﹣ln2，

所以，alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

【解析】（1）求函數(shù)的最值問題，需求出該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，在給定區(qū)間內(nèi)求解函數(shù)的最小值；
（2）由a+b+c=1,推出,由（1）的結(jié)果轉(zhuǎn)化推出,即可證明
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了不等式的證明的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題．