【題目】如圖所示,在三棱柱中,為正方形,為菱形,,平面平面.
(1)求證:;
(2)設(shè)點(diǎn)、分別是,的中點(diǎn),試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2) 平面;(3) .
【解析】
試題分析:(1)由面面垂直的性質(zhì)可得平面,由此可得,由菱形的性質(zhì)得,從而可證平面,即可證明結(jié)論成立;(2)取的中點(diǎn),連接、,可證明四邊形為平行四邊形,從而得到平面;(3)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量由(1)知是平面的一個(gè)法向量,用空間向量的夾角公式求之即可.
試題解析:(1)連接,在正方形中,,
因?yàn)槠?/span>面平面,平面平面,平面,所以
平面,因?yàn)?/span>平面,所以.
在菱形中,,因?yàn)?/span>面,平面,,所以
平面,因?yàn)?/span>平面,所以.
(2)平面,理由如下:
取的中點(diǎn),連接、,因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,且,因?yàn)?/span>是
的中點(diǎn),所以.
在正方形中,,所以,且.
∴四邊形為平行四邊形,所以.
因?yàn)?/span>,,
所以.
(3)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作,
由(1)可知:,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、所在的直線為、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則.
在菱形中,,所以,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
因?yàn)?/span>即,
所以即,
由(1)可知:是平面的一個(gè)法向量.
所以,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象如圖5所示:將的圖像向右平移個(gè)單位,可得到函數(shù)的圖象,且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
(1)求的值;
(2)求的最小值,并寫出的表達(dá)式;
(3)若關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,已知長(zhǎng)方形中, , , 為的中點(diǎn).將沿折起,使得平面平面.
(1)求證: ;
(2)若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn)點(diǎn)在何位置時(shí),二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在五棱錐中,平面平面,且.
(1)已知點(diǎn)在線段上,確定的位置,使得平面;
(2)點(diǎn)分別在線段上,若沿直線將四邊形向上翻折,與恰好重合,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn)為,過(guò)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;
(3)過(guò)的直線與(2)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,圓與軸交于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的圓的切線為是圓上異于的一點(diǎn),垂直于軸,垂足為,是的中點(diǎn),延長(zhǎng)分別交于.
(1)若點(diǎn),求以為直徑的圓的方程,并判斷是否在圓上;
(2)當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明:直線恒與圓相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1,0).
(1)若直線與圓C相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),求三角形CPQ面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
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【題目】如圖,某校高一(1)班全體男生的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分,據(jù)此解答如下問(wèn)題:
(1)求該班全體男生的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的男生人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該班全體男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(3)從分?jǐn)?shù)在中抽取兩個(gè)男生,求抽取的兩男生分別來(lái)自、的概率.
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