Question

13．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P是A₁C₁的中點(diǎn)，AB=BC=kPA，若直線PA與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為$\frac{1}{4}$，則k的值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AP交CC₁延長(zhǎng)線于Q，易證AB⊥平面BCC₁B₁，AQ=2AP，故而sin∠AQB=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{4}$，從而解得k=$\frac{1}{2}$．

解答 解：延長(zhǎng)AP，CC₁，設(shè)延長(zhǎng)線交點(diǎn)為Q，連結(jié)QB．
∵P是A₁C₁的中點(diǎn)，AA₁∥CC₁，∴AQ=2AP．
∵BB₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠AQB為直線PA與平面BB₁C₁C所成的角．
∴sin∠AQB=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{kPA}{2PA}=\frac{1}{4}$，
解得k=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角的作法與計(jì)算，屬于中檔題．