Question

10．已知y=f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x²+2x，則滿足f（f（a））=$\frac{1}{2}$的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8．

Answer 1

分析 令f（a）=x，則f[f（a）]=$\frac{1}{2}$轉(zhuǎn)化為f（x）=$\frac{1}{2}$．先解f（x）=$\frac{1}{2}$在x≥0時(shí)的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=$\frac{1}{2}$在x＜0時(shí)的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答 解：令f（a）=x，則f[f（a）]=$\frac{1}{2}$變形為f（x）=$\frac{1}{2}$
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1=$\frac{1}{2}$，解得x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$的解為x₃=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₄=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
綜上所述，f（a）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)a≥0時(shí)，
f（a）=-（a-1）²+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程無解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有1解；
故當(dāng)a≥0時(shí)，方程f（a）=x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=$\frac{1}{2}$的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個(gè)數(shù)問題，同時(shí)運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力要求較高，是高考的熱點(diǎn)問題．