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5.已知曲線C的方程是mx2+ny2=1(m>0mn>0),且曲線C過A(24,22),B(6633)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點(diǎn),且OM⊥ON,求證:直線MN恒與一個(gè)定圓相切.

分析 (Ⅰ)將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程,解方程可得m=4,n=1,即可得到橢圓方程;
(Ⅱ)將M,N的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合OM⊥ON,可得x1x2+y1y2=0,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,求得點(diǎn)O到直線MN的距離為d,化簡(jiǎn)整理可得定值,即可得證.

解答 解:(Ⅰ)由題將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程可得:
{18m+12n=116m+13n=1解得m=4,n=1.
所以曲線C方程為y2+4x2=1;
(Ⅱ)證明:由M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點(diǎn),OM⊥ON,
可得:y21+4x21=1,y22+4x22=1,x1x2+y1y2=0,
原點(diǎn)O到直線MN的距離d=|OM||ON||MN|=x12+y12x22+y22x1x22+y1y22=x12+y12x22+y22x12+x22+y12+y22
=13x2113x2223x21+x22=13x21+x22+9x21x2223x21+x22,
由x1x2+y1y2=0得:x21x22=y21y22=14x2114x22=14x21+x22+16x21x22,
所以x21x22=415x21+x22115,
d=3x21+x22+125x21+x22+2523x21+x22
=2535x21+x2223x21+x22=55
所以直線MN恒與定圓x2+y2=15相切.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用待定系數(shù)法,考查直線恒與一個(gè)定圓相切,主要點(diǎn)滿足橢圓方程和兩直線垂直的條件,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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