分析 (Ⅰ)將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程,解方程可得m=4,n=1,即可得到橢圓方程;
(Ⅱ)將M,N的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合OM⊥ON,可得x1x2+y1y2=0,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,求得點(diǎn)O到直線MN的距離為d,化簡(jiǎn)整理可得定值,即可得證.
解答 解:(Ⅰ)由題將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程可得:
{18m+12n=116m+13n=1解得m=4,n=1.
所以曲線C方程為y2+4x2=1;
(Ⅱ)證明:由M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點(diǎn),OM⊥ON,
可得:y21+4x21=1,y22+4x22=1,x1x2+y1y2=0,
原點(diǎn)O到直線MN的距離d=|OM|•|ON||MN|=√(x12+y12)(x22+y22)√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(x12+y12)(x22+y22)√x12+x22+y12+y22
=√(1−3x21)(1−3x22)2−3(x21+x22)=√1−3(x21+x22)+9x21x222−3(x21+x22),
由x1x2+y1y2=0得:x21x22=y21y22=(1−4x21)(1−4x22)=1−4(x21+x22)+16x21x22,
所以x21x22=415(x21+x22)−115,
d=√−3(x21+x22)+125(x21+x22)+252−3(x21+x22)
=√25−35(x21+x22)2−3(x21+x22)=√55.
所以直線MN恒與定圓x2+y2=15相切.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用待定系數(shù)法,考查直線恒與一個(gè)定圓相切,主要點(diǎn)滿足橢圓方程和兩直線垂直的條件,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,1) | B. | (-1,-1) | C. | (1,-1) | D. | (-1,1) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | -1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{2} | B. | -\sqrt{3} | C. | -\frac{{\sqrt{3}}}{2} | D. | -\frac{1}{2} |
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