分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式,求得直線l的方程,令x=b,求得P的坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)D的坐標(biāo),代入橢圓方程,可得直線的斜率,進(jìn)而得到傾斜角;
(2)設(shè)直線x=my-b,代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及三角形的面積公式,化簡整理,由二次函數(shù)的最值的求法,可得最大值.
解答 解:(1)由題意可得e=ca=√33,
設(shè)直線l的方程為y=k(x+b),
令x=b可得y=2kb,即P(b,2kb),
可得中點(diǎn)D為(b,kb),
代入橢圓方程可得2a2+k222=1,
即有k2=1-2a2=1-a2−13a2a2=1-23=13,
解得k=±√33,
即有直線的傾斜角為30°或150°;
(2)設(shè)直線x=my-b,代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,可得
(a2+b2m2)y2-2mb3y+b4-a2b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=2m3a2+2m2,y1y2=\frac{^{4}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}},
由對稱性可得△ABQ的面積為2S△ABO,
S△ABO=12b•|y1-y2|=12b•\sqrt{\frac{4{m}^{2}^{6}}{({a}^{2}+^{2}{m}^{2})^{2}}-\frac{4(^{4}-{a}^{2}^{2})}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}}
=ab2•√a2+2m2−2(a2+2m2)2,
令t=a2+b2m2,則t≥a2,
則S△ABO=ab2•√−2(1t−122)2+142,
當(dāng)a2≤t≤2b2,S△ABO取得最大值ab2•12b=12ab,
當(dāng)t>2b2,S△ABO取得最大值b2•√1−2a2.
即有△ABQ的面積最大值為{ab,1<a22≤222•√1−2a2,a22>2.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用,注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程,以及離心率公式,考查直線的斜率和傾斜角的求法,同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及二次函數(shù)的最值的求法,屬于中檔題.
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A. | (0,4) | B. | (-4,0) | C. | [0,4) | D. | [0,4] |
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A. | -\frac{3π}{2} | B. | -\frac{π}{2} | C. | π | D. | 2π |
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