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17.設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),過M(-b,0)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)
(1)已知橢圓C的離心率為33,過N(b,0)作x軸的垂線與直線l交于P.且NP的中點(diǎn)在C上.求直線1的傾斜角;
(2)設(shè)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q,求△ABQ的面積最大值(用a,b表示).

分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式,求得直線l的方程,令x=b,求得P的坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)D的坐標(biāo),代入橢圓方程,可得直線的斜率,進(jìn)而得到傾斜角;
(2)設(shè)直線x=my-b,代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及三角形的面積公式,化簡整理,由二次函數(shù)的最值的求法,可得最大值.

解答 解:(1)由題意可得e=ca=33,
設(shè)直線l的方程為y=k(x+b),
令x=b可得y=2kb,即P(b,2kb),
可得中點(diǎn)D為(b,kb),
代入橢圓方程可得2a2+k222=1,
即有k2=1-2a2=1-a213a2a2=1-23=13,
解得k=±33,
即有直線的傾斜角為30°或150°;
(2)設(shè)直線x=my-b,代入橢圓方程x2a2+y2b2=1,可得
(a2+b2m2)y2-2mb3y+b4-a2b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=2m3a2+2m2,y1y2=\frac{^{4}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}
由對稱性可得△ABQ的面積為2S△ABO,
S△ABO=12b•|y1-y2|=12b•\sqrt{\frac{4{m}^{2}^{6}}{({a}^{2}+^{2}{m}^{2})^{2}}-\frac{4(^{4}-{a}^{2}^{2})}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}}
=ab2a2+2m22a2+2m22,
令t=a2+b2m2,則t≥a2,
則S△ABO=ab221t1222+142,
當(dāng)a2≤t≤2b2,S△ABO取得最大值ab212b=12ab,
當(dāng)t>2b2,S△ABO取得最大值b212a2
即有△ABQ的面積最大值為{ab1a2222212a2a222

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用,注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程,以及離心率公式,考查直線的斜率和傾斜角的求法,同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,以及二次函數(shù)的最值的求法,屬于中檔題.

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