Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中a₁=1，a₇=13
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)不等式λT_n＜n+8（n∈N^*）恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求出a_n；
（2）由（1）化簡(jiǎn)b_n=

1

an•an+1

，利用裂項(xiàng)相消法求出T_n，代入不等式λT_n＜n+8分離出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由對(duì)于n∈N^*恒成立求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=1，a₇=13，∴a₁+6d=13，解得d=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
（2）由（1）得，b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

要使不等式λT_n＜n+8（n∈N^*）恒成立，
只需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可
∵2n+

8

n

≥8，當(dāng)且僅當(dāng)2n=

8

n

時(shí)，即n=2取等號(hào)，
∴λ＜25

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題．