Question

8．如圖，正方體的棱長為a，P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點
（1）求證：PQ∥平面AA₁B₁B
（2）求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）由已知條件利用向量法能求出PQ的長．

解答 證明：（1）以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，
建立空間直角坐標系，
P（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），Q（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$，0），
$\overrightarrow{PQ}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
平面AA₁B₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{n}$=0，PQ?平面AA₁B₁B，
∴PQ∥平面AA₁B₁B．
解：（2）PQ的長|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}+（-\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線段長的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力、空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．