Question

15．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{f（{x+1}）}}-1，-1＜x＜0}\\{x，0≤x＜1}\end{array}}$，若方程f（x）-4ax=a（a≠0）有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• B． $[{\frac{1}{5}，+∞}）$
• C． $\left\{1\right\}∪[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• D． $\left\{{-1}\right\}∪[{\frac{1}{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出f（x）的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求出a的范圍即可，

解答 解：令-1＜x＜0，則0＜x+1＜1，
則f（x+1）=x+1，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-1，-1＜x＜0}\\{x，0≤x＜1}\end{array}\right.$，
如圖示：

由f（x）-4ax=a（a≠0），
得：f（x）=a（4x+1），
函數(shù)y=a（4x+1）恒過（-$\frac{1}{4}$，0），
故K_AB=$\frac{1}{\frac{5}{4}}$=$\frac{4}{5}$，
若方程f（x）-4ax=a（a≠0）有唯一解，
則4a≥$\frac{4}{5}$，解得：a≥$\frac{1}{5}$，
當(dāng)4ax+a=$\frac{1}{x+1}$-1即圖象相切時(shí)，
根據(jù)△=0，解得：a=-1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．