Question

16．已知f（x）=log_a$\frac{2+mx}{x-2}$是奇函數(shù)（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調性并證明；
（3）當x∈（r，a-2）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0即可求解m的值．
（2）定義證明（2，+∞）上的單調性即可．
（3）利用單調性當x∈（r，a-2）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值．

解答 解：（1）由題意：f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，即log_a$\frac{2+mx}{x-2}$+$lo{g}_{a}\frac{2-xm}{-x-2}$=0
∴$\frac{（2+mx）（-mx+2）}{（x-2）（-2-x）}=1$，解得：m=±1，
當m=-1時，f（x）無意義，所以$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，
故得m的值為1．
（2）由（1）得$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，設2＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}+2}{{x}_{2}-2}$-$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{1}-2}$=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}-{x}_{2}）-4}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}-{x}_{2}）-4}$
∴2＜x₁＜x₂，∴0＜2x₁x₂+2（x₁-x₂）-4＜x₁x₂-（x₁-x₂）-4，
∵a＞1，∴f（x₂）＜f（x₁）
所以：函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調減函數(shù)．
（3）由（1）得$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，
∴$\frac{2+x}{x-2}＞0$得，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞）
又∵$\frac{x+2}{x-2}≠1$，得f（x）∈（-∞，0）∪（0，+∞）
令f（x）=1，則$\frac{x+2}{x-2}$=，解得：$x=\frac{2+2a}{a-1}$．
所以：f（$\frac{2+2a}{a-1}$）=1
當a＞1時，$\frac{2+2a}{a-1}$＞2，此時f（x）在在（2，+∞）上的單調減函數(shù)．
所以：當x∈（2，$\frac{2+2a}{a-1}$）時，得f（x）∈1，+∞）；
由題意：r=2，那么a-2=$\frac{2+2a}{a-1}$，解得：a=5．
所以：當x∈（r，a-2），f（x）的取值范圍恰為（1，+∞）時，a和r的值分別為5和2．

點評 本題考查了對數(shù)的性質及運用，單調性的證明以及求定義域和值域的對應關系．屬于難題．