Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$，
（1）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題．

解答 解：（1）f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
任取-1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}+1}{{x}_{1}+1}-\frac{2{x}_{2}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂⇒x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）；
所以，f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）：由（1）知 f（x）[1，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（1）=$\frac{3}{2}$，最大值f（4）=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．