Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}+x+b}}{x^2}$的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f²（x）≤x^-2e^x，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x（x+2b）＞0的解集為（-∞，0）∪（0，+∞），求出b的值即可；
（2）得到x＞0時(shí)（ax+1）²≤e^x，設(shè)k（x）=e^x-（ax+1）²（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意確定a的具體范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=a+\frac{1}{x}+\frac{x^2}$，
∴$f'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{2b}{x^3}=\frac{-x-2b}{x^3}$，
所以$\frac{-x-2b}{x^3}＜0$的解集為（-∞，0）∪（0，+∞），
即x（x+2b）＞0的解集為（-∞，0）∪（0，+∞），
所以b=0．（4分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}+a$，又f²（x）≤x^-2e^x，
則$\frac{{{{（{ax+1}）}^2}}}{x^2}≤\frac{e^x}{x^2}$，所以x＞0時(shí)（ax+1）²≤e^x．
設(shè)k（x）=e^x-（ax+1）²（x＞0），
則k'（x）=e^x-2a²x-2a（x＞0），k'（0）=1-2a，
當(dāng)1-2a≥0，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，k''（x）=e^x-2a²，
因?yàn)閤＞0時(shí)，e^x＞1，$2{a^2}≤\frac{1}{2}$，故k''（x）≥0．
所以k'（x）單調(diào)遞增，k'（x）＞k'（0）≥0，
故k（x）單調(diào)遞增，k（x）＞k（0）=0恒成立，
符合題意．（10分）
當(dāng)1-2a＜0，即$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，
存在x₀＞0，當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，k'（x）＜0，k（x）單調(diào)遞減，
k（x）＜k（0）=0，與k（x）≥0恒成立矛盾．
綜合上述得正數(shù)a的取值范圍是$（{0，\frac{1}{2}}]$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．