Question

8．設(shè)向量$\overrightarrow a=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow b=（{{x_2}，{y_2}}）$，定義運(yùn)算：$\overrightarrow a$*$\overrightarrow b$=（x₁x₂，y₁y₂）．已知向量$\overrightarrow m=（{2，2}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{π}{3}，-1}）$，點(diǎn)P在y=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}}]$時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y），Q（x′，y′），利用$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=2x+\frac{π}{3}\\{y^'}=2y-1\end{array}\right.$，解出x，y，代入y=sinx，即可得出．
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），Q（x′，y′），∵滿(mǎn)足$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow m*\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow n$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=2x+\frac{π}{3}\\{y^'}=2y-1\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}\\ y=\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∵P（x，y）在y=sinx上，
∴$\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}=sin（{\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}}）$，
∴${y^'}=2sin（{\frac{1}{2}{x^'}-\frac{π}{6}}）-1$，
∴$f（x）=2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）-1$．
（2）∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}}]$，
∴$-\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$-\sqrt{3}-1≤2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}}）-1≤1$．
∴f（x）的值域?yàn)?[{-\sqrt{3}-1，1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義、向量的運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．