【題目】函數(shù),其中.

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)已知當(dāng) (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;

(3)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,有.

【答案】(1)見解析(2) (3)見解析

【解析】試題分析

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)易知的定義域?yàn)?/span>,通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解答.

(2)上至少存在一點(diǎn),使成立,等價(jià)于當(dāng)時(shí), 通過單調(diào)性求出最大值,然后解答.(3)構(gòu)造輔助函數(shù),并求導(dǎo)得=,然后利用單調(diào)性解答.

試題解析

(1)易知的定義域?yàn)?/span>

,

=

:

①當(dāng)時(shí),

單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí),

則當(dāng)單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增.

(2)上至少存在一點(diǎn),使成立,等價(jià)于當(dāng)時(shí),

(1)知, 時(shí), 單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí),

解得.滿足

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

(3)當(dāng)時(shí),

設(shè)

故當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.

∴對(duì)任意,都有成立,

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè) .

(1)若直線與和圖象均相切,求直線的方程;

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()假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).

()在樣本數(shù)據(jù)中,20位女生的每周課外閱讀時(shí)間超過4小時(shí)15位男生的每周課外閱讀時(shí)間沒有超過4小時(shí).請(qǐng)畫出每周課外閱讀時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“該校學(xué)生的每周課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”.

P(K2k0)

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

附:

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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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