Question

9．設函數f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在兩個不等正數s，t（s＜t），當x∈[s，t]時，函數f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數s，t，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b．依題意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x³-6x²+9x； 
（2）由函數的定義域是正數知，s＞0，故極值點x=3不在區(qū)間[s，t]上，由此利用分類討論思想能求出不存在正數s，t滿足要求．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意有$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{27+9a+3b=0}\\{27+6a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$．
∴f（x）=x³-6x²+9x；
（2）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）=0，得x=1或x=3．
當x∈（-∞，1），（3，+∞）時，f′（x）＞0，函數為增函數，
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0，函數為減函數，
∴f（x）=x³-6x²+9x的極大值為4，極小值為0．
①若極值點3在[s，t]上，
∵函數的值域也是[s，t]，
∴0∈[s，t]，這與s＞0矛盾；
②若極值點1在[s，t]上，
∵函數的值域也是[s，t]，
∴4∈[s，t]，這與0＜s≤1≤t＜3矛盾；
③若f（x）=x³-6x²+9x在區(qū)間[s，t]上單調遞增，
即0＜s＜t＜1或3＜s＜t，則$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=s}\\{f（t）=t}\end{array}\right.$，
即s，t是方程x³-6x²+9x=x的兩個不同正根，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{t=4}\end{array}\right.$舍去；
④若f（x）=x³-6x²+9x在區(qū)間[s，t]上單調遞減，
即1≤s＜t≤3，則$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
兩式相減并除以s-t得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0*，
兩式相除并開方可得：s（s-3）=t（t-3），
∴s+t=3．代入*得st=1．
∴s，t為方程x²-3x+1=0的兩根，
解得：$s=\frac{3-\sqrt{5}}{2}，t=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
綜上，存在$s=\frac{3-\sqrt{5}}{2}，t=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$滿足條件．

點評 本題考查函數解析式的求法，考查函數的極值的求法，考查滿足條件的正數是否存在的判斷與求法，關鍵是注意導數性質的合理運用，屬難題．