Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0，得到2a=x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式求得x+$\frac{1}{x}$的范圍即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+lnx，
可得f'（x）=x-2a+$\frac{1}{x}$，
由題意可知存在實數(shù)x＞0，使得f'（x）=x-2a+$\frac{1}{x}$=0，
即2a=x+$\frac{1}{x}$成立，
2a=x+$\frac{1}{x}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時等號取到），
即a≥1，
即有實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，同時考查轉(zhuǎn)化思想的運用，是中檔題．