Question

1．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是線段AD上一點，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（Ⅰ）證明：CM⊥SB；
（Ⅱ）設三棱錐C-SBM與四棱錐S-ABCD的體積分別為V₁與V，求$\frac{{V}_{1}}{V}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：CM⊥平面SBM，即可證明CM⊥SB；
（Ⅱ）三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，由（Ⅰ） 知SM⊥平面ABCD，得$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\frac{1}{3}×SM×\frac{1}{2}×BM×CM}{\frac{1}{3}SM×\frac{1}{2}（AB+CD）×AD}$，即可求$\frac{{V}_{1}}{V}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SM?平面SAD，SM⊥AD，
∴SM⊥平面ABCD，（1分）
∵CM?平面ABCD，∴SM⊥CM（2分）
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，
∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，
∴∠AMB=∠CMF=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM        （4分）
∵SM?平面SBM，BM?平面SBM，SM∩BM=M，∴CM⊥平面SBM，
又SB?平面SBM，所以CM⊥SB（6分）
（Ⅱ）解：三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，
由（Ⅰ） 知SM⊥平面ABCD，
得$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\frac{1}{3}×SM×\frac{1}{2}×BM×CM}{\frac{1}{3}SM×\frac{1}{2}（AB+CD）×AD}$，（9分）
設AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC得CD=3a，BM=$\sqrt{2}$a，CM=3$\sqrt{2}$a，AD=4a
從而$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\sqrt{2}a×3\sqrt{2}a}{（a+3a）×4a}$=$\frac{3}{8}$          （12分）

點評 本題考查直線和平面垂直、棱錐體積的計算等基礎知識，意在考察學生空間向量能力、推理論證能力和基本的運算能力．