Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）兩點(diǎn)，
（1）橢圓C短軸頂點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求橢圓C的方程及$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）已知雙曲線E的焦點(diǎn)是橢圓C的左右頂點(diǎn)，一條漸近線方程為y=x；求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，由題意可知M在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，即可求得$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）由（1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由y=x，則雙曲線為等軸雙曲線，由雙曲線的關(guān)系，求得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）將（1，1）與（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=$\frac{3}{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{2y}^{2}}{3}=1$，
若點(diǎn)A，B在橢圓的短軸的頂點(diǎn)上，
則點(diǎn)M在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)上，則$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$=$\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}$=2（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=2，
∴$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值2；
（2）由雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
由雙曲線的漸近線y=x，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線漸近線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．