Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過（1，1）與（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）兩點，
（1）橢圓C短軸頂點分別為A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求橢圓C的方程及$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）已知雙曲線E的焦點是橢圓C的左右頂點，一條漸近線方程為y=x；求雙曲線E的標準方程．

Answer 1

分析 （1）將兩點坐標代入橢圓方程，即可求得a和b的值，由題意可知M在長軸頂點，即可求得$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值；
（2）由（1）求得雙曲線的焦點坐標，由y=x，則雙曲線為等軸雙曲線，由雙曲線的關系，求得雙曲線E的標準方程．

解答 解：（1）將（1，1）與（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=$\frac{3}{2}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{2y}^{2}}{3}=1$，
若點A，B在橢圓的短軸的頂點上，
則點M在長軸頂點上，則$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$=$\frac{1}{^{2}}+\frac{1}{^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}$=2（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=2，
∴$\frac{1}{{|OA|}^{2}}$+$\frac{1}{{|OB|}^{2}}$+$\frac{2}{{|OM|}^{2}}$的值2；
（2）由雙曲線焦點坐標F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
由雙曲線的漸近線y=x，
則雙曲線的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查雙曲線漸近線方程，考查計算能力，屬于基礎題．