Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，

3

2

）且e=

3

2

，
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的方程；
（3）設(shè)直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁，當(dāng)R為何值時(shí)，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1 a2 + 3 4b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）由橢圓方程為

x2

4

+y²=1，設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，要使切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0．由此能求出存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=

4

5

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B．
（3）設(shè)直線l的方程為y=mx+n，因?yàn)橹本�l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，由R=

|n|

1+m2

，知n²=R²（1+m²），因?yàn)閘與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁，所以（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解．由此入手能夠?qū)С霎?dāng)R=

2

∈（1，2）時(shí)|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，

3

2

）且e=

3

2

，
∴

1 a2 + 3 4b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1，c²=3，
∴橢圓方程

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知橢圓方程為

x2

4

+y²=1，
①設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

，得x²+4（kx+t）²=4，
即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，
則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²
=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t²=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因?yàn)橹本�y=kx+t為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|t|

1+k2

，r²=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圓為x²+y²=

4

5

．
②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為x=±

2 5

5

，
與

x2

4

+y²=1交于點(diǎn)（

2 5

5

，±

2 5

5

）或（-

2 5

5

，±

2 5

5

）滿足．
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x²+y²=

4

5

，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B．
（3）設(shè)直線l的方程為y=mx+n，
因?yàn)橹本�l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，
由（2）知R=

|n|

1+m2

，即n²=R²（1+m²）①，因?yàn)閘與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁，
由（2）知

y=mx+n x2 4 +y2=1

，得x²+4（mx+n）²=4，
即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解，
則△=64m²n²-16（1+4m²）（n²-1）=16（4m²-n²+1）=0，即4m²-n²+1=0，②
由①②得

n2= 3R2 4-R2 m2= R2-1 4-R2

，此時(shí)A，B重合為B₁（x₁，y₁）點(diǎn)，
由

x1+x2=- 8mn 1+4m2 x1x2= 4n2-4 1+4m2

中，x₁=x₂，所以x₁²=

4n2-4

1+4m2

=

16R2-16

3R2

，
B₁（x₁，y₁）點(diǎn)在橢圓上，所以y₁²=1-

1

4

x₁²=

4-R2

3R2

，
|OB₁|²=x₁²+y₁²=5-

4

R2

，在直角三角形OA₁B₁中，
|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²=5-

4

R2

-R²=5-（

4

R2

+R²），
因?yàn)椋?span id="kbftmu1" class="MathJye">

4

R2

+R²）≥4當(dāng)且僅當(dāng)R=

2

∈（1，2）時(shí)取等號，所以|A₁B₁|²≤5-4=1
即當(dāng)R=

2

∈（1，2）時(shí)|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，靈活運(yùn)用橢圓性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．