Question

16．已知f（x）=e^x-2ax，g（π）=-ax-b，其中a＞0，設(shè)兩函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處相切．
（1）用a表示b；
（2）試證明不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)的公共點(diǎn)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)上的切線相同，以及切點(diǎn)滿足方程，整理得出b的關(guān)系式；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)做差，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)在正數(shù)范圍上的單調(diào)性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式的證明．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點(diǎn)（m，n）
又f′（x）=e^x-2a，g′（x）=-a，
可得e^m-2a=-a，即m=lna，
又n=-am-b=e^m-2am，
可得b=am-e^m=alna-a；
（2）證明：設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2ax-（-ax-b）
=e^x-ax+alna-a，
h′（x）=e^x-a，當(dāng)x＞lna時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當(dāng)x＜lna時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=lna處取得極小值，也為最小值a-alna+alna-a=0，
可得h（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．