Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x（1-x），若數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，則f（-a₂₀₁₆）（　�。�

• A． 2
• B． -2
• C． 6
• D． -6

Answer 1

分析 根據(jù)${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$可求數(shù)列{a_n}的前四項，從而會發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系即可求f（-a₂₀₁₆）的值．

解答 解：由${a}_{1}=\frac{1}{2}$，且${a}_{n+1}=\frac{1}{1-{a}_{n}}$得：
${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，
${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，…；
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列；
∴a₂₀₁₆=a_671×3+3=a₃=-1；
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x（1-x），
∴f（-a₂₀₁₆）=-f（a₂₀₁₆）=-f（-1）=-（-1）（1+1）=2，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的周期性，利用函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．