Question

（2010•煙臺一模）已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²，則函數(shù)y=f（x）-log₅x的零點個數(shù)是（　�。�

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由題意可求得函數(shù)是一個周期函數(shù)，且周期為2，故可以研究出一個周期上的函數(shù)圖象，再研究所給的區(qū)間包含了幾個周期即可知道在這個區(qū)間中的零點的個數(shù)

解答：解：函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
又f（1-x）=f（1+x），可得f（2-x）=f（x），
故可得f（-x）=f（2-x），即f（x）=f（x-2），即函數(shù)的周期是2
又x∈[0，1]時，f（x）=x²，要研究函數(shù)y=f（x）-log₅x在區(qū)間[0，5]零點個數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=log₅x在區(qū)間[0，5]有幾個交點
如圖，由圖知，有四個交點．
故選B

點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將函數(shù)y=f（x）-log₅x在區(qū)間[0，5]的零點個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易．