Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-10|-|x-25|，且關(guān)于x的不等式f（x）＜10a+10（a∈R）的解集為R．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求2a+$\frac{27}{{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的意義．將問題轉(zhuǎn)化為15≤10a+10，解不等式即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-10|-|x-25|，
若關(guān)于x的不等式f（x）＜10a+10（a∈R）的解集為R，
即15＜10a+10，解得：a＞$\frac{1}{2}$；
（2）2a+$\frac{27}{{a}^{2}}$=a+a+$\frac{27}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{a•a•\frac{27}{{a}^{2}}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=a=$\frac{27}{{a}^{2}}$時(shí)即a=3時(shí)“=”成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的意義，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．