Question

18．某公司生產(chǎn)的某產(chǎn)品每件成本為40元，經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息：

時(shí)間：（第x天）	1	3	6	10	…
日銷量（m件）	198	194	188	180	…

①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷量（m件）與時(shí)間（第x天）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
②該產(chǎn)品90天內(nèi)銷售價(jià)格（元/件）與時(shí)間（第x天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間：（第x天）	1≤x＜50	50≤x＜90
銷售價(jià)格（元/件）	x+60	100

（1）求m關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（2）設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？[每天利潤=日銷量x（銷售價(jià)格-每件成本）]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法解出一次函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)利潤為y元，則當(dāng)1≤x＜50時(shí)，y=-2x²+160x+4000；當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=-120x+12000，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論

解答 解：（1）∵m與x成一次函數(shù)，
∴設(shè)m=kx+b，將x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{3k+b=194}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$．
所以m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式為m=-2x+200；
（2）設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2{x}^{2}+160x+4000，1≤x≤50}\\{y=-120x+12000，50≤x≤90}\end{array}\right.$，
當(dāng)1≤x＜50時(shí)，y=-2x²+160x+4000=-2（x-40）²+7200，
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=40時(shí)，y有最大值，最大值是7200；
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=-120x+12000，
∵-120＜0，
∴y隨x增大而減小，即當(dāng)x=50時(shí)，y的值最大，最大值是6000；
綜上所述，當(dāng)x=40時(shí)，y的值最大，最大值是7200，即在90天內(nèi)該產(chǎn)品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確寫出分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題．