Question

設(shè)a＞0且a≠1，f（logax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
（1）求f（x）的函數(shù)解析式，并求其定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并證明之；
（3）對于f（x），當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f（2-m）+f（2-m2）＜0，求m的值的集合．
（4）函數(shù)f（x）-3恰在（2，+∞）上取正值，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)t=log_ax，x=a^t，代入求解即可．（2）利用奇偶性定義，單調(diào)性定義推導(dǎo)證明，討論a的范圍．
（3）根據(jù)奇偶性，單調(diào)性轉(zhuǎn)化∴

2-m＜m2-2 -2＜2-m＜2 -2＜m2-2＜2

，求解得出

m＞ -1+ 17 2 ，或m＞ -1- 17 2 0＜m＜4 -2＜m＜2

即可得出答案．（4）f（2）-3=0，代入解方程即可，

解答： 解：（1）∵設(shè)a＞0且a≠1，f（logax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
∴設(shè)t=log_ax，x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）定義域?yàn)镽，
（2）∵f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）的奇函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，x₁＜x₂，
f（x₁）=

a

a2-1

（a^x  1-a^- x1），
f（x₂）=

a

a2-1

（a^x  2-a^- x2），
∵a x1＜ax2，a -x1＞a -x2，

a

a2-1

＞0，
∴（a^x  1-a^- x1）＜（a^x  2-a^- x2），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁＜x₂，
∵a x1＞a x2，a -x1＜a -x2，

a

a2-1

＜0，
∴（a^x  1-a^- x1）＞（a^x  2-a^- x2），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）單調(diào)遞增，
（3）當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f（2-m）+f（2-m2）＜0，
f（2-m）＜f（m²-2），
∴

2-m＜m2-2 -2＜2-m＜2 -2＜m2-2＜2

，即

m＞ -1+ 17 2 ，或m＞ -1- 17 2 0＜m＜4 -2＜m＜2

故實(shí)數(shù)m的范圍為：（

-1+ 17

2

，2）
（4）∵f（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）=f（x）-3單調(diào)遞增，
∵恰在（2，+∞）上取正值，
∴g（2）=0，
即f（2）-3=0
∵f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），
∴

a

a2-1

a4-1

a2

=3，

a2+1

a

=3，
a²-3a+1=0，
故a=

3± 5

2

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，方程，不等式，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．