在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、，若點(diǎn)滿足()，點(diǎn)的軌跡與拋物線：交于、兩點(diǎn)．

(1)求證：⊥；

(2)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

(2)4，

解：1)解：由()知點(diǎn)的軌跡是、兩點(diǎn)所在的直線，故 點(diǎn)的軌跡方程是：即

由

∴　　

∴

∴　故 ⊥.

2)解：存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)．

由題意知：弦所在的直線的斜率不為零

故 設(shè)弦所在的直線方程為： 代入 得

∴　　　　

∴ 故以為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)

設(shè)弦的中點(diǎn)為　則　

∴弦的中點(diǎn)的軌跡方程為：

　消去得　.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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