Question

【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，軌跡上異于，的點(diǎn)滿足直線的斜率為．

（�。┣笾本�的斜率；

（ⅱ）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（�。�（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件可得等式，化簡(jiǎn)可得曲線C的軌跡方程;

（Ⅱ）（�。┰O(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),利用點(diǎn)差法即可求解；

（ⅱ）由題意轉(zhuǎn)化為，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離求出，利用二次函數(shù)求最值即可.

（Ⅰ）由已知得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，

即點(diǎn)的軌跡的方程為：．

（Ⅱ）（�。┰O(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，滿足， ①

設(shè)點(diǎn)，滿足， ②

由①－②得：，

∵，，

∴．

（ⅱ）∵，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴，

設(shè)直線，代入曲線化簡(jiǎn)得：，

設(shè)，，由得：，，，

，

點(diǎn)到直線的距離，

∴，

∴，當(dāng)時(shí)，

∴取到最大值．