Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}-x-\frac{1}{x}$（α∈R）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出f（x）的極大值大于零，即可解出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得$\frac{ax}{{e}^{x}}=x+\frac{1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然$\frac{ax}{{e}^{x}}≤0$在（0，+∞）恒成立，而x+$\frac{1}{x}$≥2在（0，+∞）上恒成立，
故方程$\frac{ax}{{e}^{x}}=x+\frac{1}{x}$無(wú)解，即f（x）在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（1-x）（a{x}^{2}+（1+x）{e}^{x}）}{{e}^{x}•{x}^{2}}$，
∵ax²+（1+x）e^x＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
且$\underset{lim}{x→0+}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=-∞，
∵f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴f（1）＞0，
即$\frac{a}{e}-2＞0$，解得a＞2e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．